<t->
          Matemtica
          Ideias e desafios
          7 Ano 
          Ensino Fundamental          
          
          Iracema Mori
          Dulce Satiko Onaga

          Impresso Braille em 10 
          partes, na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 15 edio reformulada 
          -- 2009 So Paulo, 
          da Editora Saraiva.

          Stima Parte 

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Matemtica: Ideias e Desafios 
          -- 7 ano (Ensino 
          Fundamental)
          Copyright (C) Iracema Mori, 
          Dulce Satiko Onaga, 2009
          Direitos desta Edio:
          SARAIVA S.A. -- Livreiros Editores, So Paulo, 2009 

          Gerente editorial 
          Marcelo Arantes
          Editora 
          Viviane de L. Carpegiani 
          Tarraf 
          Editores assistentes 
          Renato Alberto Colombo Jr.; Rita de Cssia Sam

          Todos os direitos reservados 
          Editora Saraiva 2009
          Rua Henrique Schaumannn, 270 
          -- CEP 05413-010 -- Pinheiros 
          -- So Paulo -- SP
          Tel.: PABX (011) 3613-3000 
          Endereo Internet: 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
          E-mail: ~,atendprof.didatico@~
          editorasaraiva.com.br~,
<p>
                                I
          Dados Internacionais de 
          Catalogao na Publicao (CIP) 
          (Cmara Brasileira do Livro, 
          SP, Brasil)

 Mori, Iracema
  Matemtica : ideias e desafios, 7 ano /
 Iracema Mori, Dulce Satiko 
  Onaga. -- 15.ed.
 reform. -- So Paulo : Saraiva, 
  2009.
 Edio no consumvel
 Suplementado pelo manual do 
  professor.
 ISBN 978-85-02-08017-1 
  (aluno) 
 ISBN 978-85-02-08018-8 
  (professor)

 1. Matemtica (Ensino 
  fundamental) I. Onaga,
 Dulce Satiko. II. Ttulo.

 09-00908           CDD-372`.7
<P>
<P>
<R+>
<F->
                            III
Sumrio

Stima parte

Unidade 7

Sistemas e equaes ::::::: 643
1 -- Pares ordenados ::::: 645
2 -- Equao do 1 grau 
  com duas variveis ::::::: 650
Soluo de uma equao com 
  duas variveis ::::::::::: 652
Resoluo de uma equao 
  do 1 grau com duas 
  variveis :::::::::::::::: 655
Pares ordenados e a 
  representao 
  geomtrica ::::::::::::::: 662
3 -- Sistema de duas 
  equaes do 1 grau com 
  duas variveis ::::::::::: 669
Resoluo de sistema de 
  equaes ::::::::::::::::: 672
4 -- Tratamento da 
  informao ::::::::::::::: 692
Pares ordenados e 
  possibilidades ::::::::::: 692
Sistema de coordenadas, 
  grfico de colunas e 
  grfico de barras :::::::: 693 
Leitura + (mais) :::::::: 701
Reviso cumulativa 
  e testes ::::::::::::::::: 704
<R->
<F+>

<204>
<ti. d. mat. 7 ano>
<T+643>
 Unidade 7

 Sistemas e equaes

<R+>
_`[{sete fotos de atletas_`]
 1- correndo em uma pista
 2- praticando jud
 3- dando salto ornamental
 4- nadando
 5- ginstica em barras
 6- salto em gintica olmpica
 7- jogando bola dentro de uma piscina
<R->

  A maior delegao brasileira de esportistas que participaram das Olimpadas foi a de 2008, na China. Dela participaram, entre homens e mulheres, 272 atletas. Quantas mulheres participaram dessa Olimpada?
  O problema pode ser traduzido por meio da equao m+h=272, na 
<P>
 qual *m* representa o nmero de mulheres e *h*, o de homens.

<R+>
 m+h=272  uma equao do 1 grau com duas variveis.
<R->

<205>
<R+>
_`[{mapa da cidade de Londrina seguido por legenda_`]
 Legenda: Em guias de uma cidade, por exemplo, o cruzamento de duas retas fornece a localizao de um determinado ponto dessa cidade. Essas retas determinam o par ordenado dessa localizao.
<R->

  As equaes desempenham papel importante na resoluo de problemas nos quais as solues envolvem nmeros. Existem problemas nos quais a resoluo envolve dois ou mais nmeros.
  Nesta unidade vamos ampliar o nosso conhecimento sobre equaes estudando as equaes de 1 grau com duas variveis. Aprenderemos a localizar e descrever pontos representados por pares ordenados e a resolver problemas por meio de sistemas de equaes.
<R+>
  Na delegao brasileira das Olimpadas de 2008, havia 272 atletas, dos quais 127 eram mulheres. Quantos eram os homens? E se fossem 100 mulheres? 
  Voc conhece outras situaes que envolvem um sistema de equaes do 1 grau com duas variveis? Conte aos colegas.
<R->

<206>
 1 -- Pares ordenados

  A palavra par tem vrios significados. Mas, quando ela  mencionada, imediatamente pensamos em dois.

<R+>
_`[{duas fotos seguidas por legendas_`]
 Legenda 1: Par pode significar casal: casal de pssaros.
 Legenda 2: Os nmeros dessas lojas so pares.
<P>
<R->

  Em Matemtica, nmeros pares so aqueles que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, que so mltiplos de 2.

<R+>
 wr
  Na sua opinio, o que significa par ordenado?
<R->

  Vamos conhecer o significado da expresso par ordenando.
  Em um jogo de baralho, comea aquele que tira o nmero maior.
  Amlia, Pedro e Patrcia tiraram, respectivamente, 5, 8 e 9.

<R+>
 wr
  Relacione esses nmeros de dois em dois, usando a expresso  maior que.
<R->

<207>
  Os nmeros que esto relacionados dois a dois, segundo a relao  maior que, so: 8 e 5, 9 e 5, 9 e 8.
<P>
_`[{a menina diz_`]
  "8  maior que 5: `(8,#e`). 9  maior que 5: `(9,#e). 9  maior que 8: `(9,#h`)."

  Vamos representar esses pares de nmeros escrevendo-os entre parnteses, o nmero maior seguido do menor:

<R+>
 `(8,#e`), `(9,#e`) e `(9,#h`).
 `(8,#e)  um par ordenado.
 8  o primeiro nmero do par ordenado.
 5  o segundo nmero do par ordenado.
<R->

   importante observar que `(8,#e`)  diferente de `(5,#h`), pois `(8,#e`) indica, na situao descrita, que 8  maior que 5, e `(5,#h`)  um par que no  soluo do problema proposto, porque 5 no  maior que 8.
<P>
<R+>
 Chamamos de par ordenado dois nmeros, *a* e *b*, considerados em certa ordem e indicados entre parnteses. Se a ordem  primeiro o nmero *a* e depois o nmero *b*, indicamos o par ordenado por `(a,b`). Se a ordem  primeiro *b* e depois *a*, indicamos por `(b,a`).
<R->

  Dois pares ordenados `(a,b`) e `(c,d`) so iguais e se somente a=c e b=d.
  Por exemplo:

 `(#ab,#b`)=`(#,c,#b`), pois #ab=
  =#,c e 2=2, mas `(3,#d`)=
  =`(4,#c`), pois 3=4 e 4=3.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Dcio, Roberto, Mrio e Fernando tm, respectivamente, 10, 6, 12 e 20 moedas raras. Relacione o nmero de moedas que eles tm segundo a relao o primeiro nmero  menor que o segundo.
 a) Escreva os pares ordenados que voc obteve.
 b) O par `(5,#aj`) aparece na sua resposta? Por qu?

 2. Se `(-3,x`)=`(-#,;d,#j`), ento qual  o valor de *x*?
 3. As letras *x* e *y* podem representar as medidas: 0, 10, 20, 30 e 40. Que pares ordenados `(x,y`) podem ser escritos segundo a relao a primeira medida tem 10 a menos que a segunda?
<R->

 Troque ideias e resolva

  As letras *x* e *y* representam os nmeros: 0, -1, -2, -3 e -4.
<R+>
  Que pares ordenados `(x,y`) podem ser escritos segundo a relao o primeiro nmero tem uma unidade a menos que o segundo?
  Podemos formar o par ordenado `(0,-#a`)? Por qu?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<208>
 2 -- Equao do 1 grau com 
  duas variveis

  Vamos aprender a resolver problemas usando equaes do 1 grau com duas variveis analisando e encontrando respostas a estas situaes:
  Lucas e Joana eram os candidatos a representante dos 7s anos na escola em que estudam.

_`[{lucas diz_`]
  "A soma do triplo dos votos que eu recebi com os seus votos..."

_`[{joana diz_`]
  "...d 480 votos!"

<R+>
 wr
  Represente a situao anterior por meio de uma equao.
<R->

  Representamos a situao dada utilizando uma equao com duas variveis:

 *x* -- n.o de votos de Lucas
 *y* -- n.o de votos de Joana

<R+>
 Triplo dos votos de Lucas mais votos de Joana so 480 votos.
 3.x+y=480
<R->

  A equao 3.x+y=480 ou 3x+y=480  uma equao do 1 grau com duas variveis: *x* e *y* so as variveis dessa equao.
  O produto do preo de um caderno pelo preo de um estojo  R$60,00.

<R+>
 wr
  Que equao representa essa situao?
<R->

<209>
  Agora veja:

<R+>
 *x* -- preo do caderno
 *y* -- preo do estojo

 Preo de um caderno vezes preo de um estojo  60.
 x.y=60
<R->

  A equao x.y=60  uma equao com duas variveis, mas ela no  do 1 grau, pois nela h um produto das variveis.
  Outros exemplos:
  A equao 3`(2x-4`)-y=35  uma equao do 1 grau com duas variveis.
  J a equao 2x~5-3xy=25  uma equao com duas variveis, mas no  do 1 grau.

 Soluo de uma equao com duas 
  variveis

  Rodolfo  professor de Educao Fsica.
  Ele est formando a equipe de esportes da escola que vai participar de um campeonato.
<P>
_`[{rodolfo diz_`]
  "... 91 alunos, entre moas e rapazes!"

  Observe a equao que podemos escrever nessa situao:

<R+>
 *x* -- n.o de rapazes
 *y* -- n.o de moas

 O nmero de rapazes com o nmero de moas  91.
 x+y=91
<R->

  Equao do problema: x+y=91

 *x* e *y* so as variveis dessa 
  equao.

_`[{a professora diz_`]
  "Experimente!"

  Se voc escolher valores para *x* e *y* e substitu-los nessa equao, ter sentenas que podero ser verdadeiras ou falsas.

<R+>
 wr
  Atribua a *x* o valor 63 e um valor qualquer a *y*. A sentena que voc obteve  verdadeira?
<R->

<210>
  Acompanhe alguns clculos com os nmeros que esto na tabela:

<R+>
_`[{tabela adaptada em cinco colunas; contedo a seguir_`]
 1 coluna: x (rapazes)
 2 coluna: y (moas)
 3 coluna: x+y=91 (equao)
 4 coluna: Sentena
 5 coluna: `(x,y`) (par ordenado)

 5; 70; 5+70=91; falsa; `(5,#gj`)
 5; 86; 5+86=91; verdadeira; `(5,#hf`)
 48; 43; 48+43=91; verdadeira; `(48,#dc`)
 60; 31; 60+31=91; verdadeira; `(60,#ca`)
<P>
 50; 28; 50+28=91; falsa; `(50,#bh`)

 `(5,#hf`)  uma das solues da equao x+y=91.
<R->

  Em `(5,#hf`), o primeiro nmero  o valor de *x* e o segundo, o de *y*.
  Nessa tabela, alm do par ordenado `(5,#hf`), so tambm solues da equao x+y=91 os pares ordenados `(48,#dc`) e `(60,#ca`).

 Resoluo de uma equao do 
  1 grau com duas variveis

  Observe a situao:

<R+>
_`[{em uma lousa est escrito: "Escreva um par ordenado `(x,y`) que seja soluo de 4x+y=17"_`]
<R->

_`[{a professora diz_`]
  "*x* e *y* representam nmeros racionais. Vocs podem escolher 
<P>
 os valores que quiserem para *x* ou *y*."

_`[{a menina diz_`]
  "Posso escolher 17 para *x*!"

_`[{outra menina pensa_`]
  "Vou escolher 1 ou zero."

_`[{um menino pensa_`]
  "Se *x* for 17, ento... 174..."

_`[{outro menino diz_`]
  "Puxa! Quantas possibilidades!"

<R+>
 wr
  Juliana escolheu o valor 1 para *x*. Qual ser o valor de *y* para que `(1,y`) seja soluo da equao dada pela professora?
<R->

  Substituindo *x* por 1 na equao 4x+y=17, obtemos uma equao do 1 grau com a incgnita *y*. A raiz dessa equao  o valor de *y* que procuramos:
<R+>
 x=1 -- 4x+y=17 
 4.1+y=17 -- y=17-4 
 y=13

 Verificao:
 x=1 e y=13 
 4x+y=17  
 4.1+13=17
 4+13=17 (sentena verdadeira)
<R->

  O par ordenado `(1,#ac`)  soluo da equao 4x+y=17.

<211>
  Acompanhe outros clculos nos quais escolhemos alguns valores para *x* e determinamos os valores de *y*.

<R+>
 Equao: 4x+y=17 
 Escolhendo x=0
 Substituindo x por 0: 
 4.0+y=17
 0+y=17
 y=17
 `(0,#ag`)  soluo
<P>
 Substituindo *x* por #,d
 4.#,d+y=17
 1+y=17 
 y=16
 `(#,d,#af`)  soluo
<R->

  Da mesma forma, podemos escolher valores para *y* e determinar os valores de *x* resolvendo uma equao.

<R+>
 Substituindo *y* por -#,b
 4x+`(-#,b`)=17
 4x=17+#,b
 x=#:?h
 `(#:?h,-#,b`)  soluo.
<R->

  Os pares ordenados `(0,#ag`), `(#,d,#af`) e `(#:?h,-#,b`) so algumas solues da equao 4.x+y=17. Como *x* e *y* representam nmeros racionais quaisquer, existem infinitos valores que podemos escolher. Isso significa que a equao 4.x+y=17 tem infinitas solues.
<P>
<R+>
 Chamamos de equao do 1 grau com duas variveis toda equao que pode ser escrita na forma a.x+b.y=c, em que *a*, *b* e *c* representam nmeros racionais conhecidos e *a* e *b* so diferentes de zero.
<R->

 Fazer e aprender 

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 4. Copie apenas as equaes do 1 grau com duas variveis:
 a) 5x-3y=4x
 b) y~4-2`(3x+9`)=1
 c) 3xy-8=0
 d) x.`(1-2y`)=15
 e) ?x-12*~5-6x=#;ae
 f) #,c`(2x-4y`)=5y

 5. Transforme as equaes do 1 grau com duas variveis do exerccio anterior na forma ax+by=c.
<P>
 6. O terreno da casa de Pedro  retangular. Se do dobro da medida da frente do terreno subtrairmos a medida de fundo, obteremos 48,6 metros.

<F->
  !::::::::::
  l          _
x l          _
  l          _
  h::::::::::j
       y
<F+>

 a) Escreva uma equao que represente essa situao. 
 b) Quanto ter de frente o terreno se de fundo tiver 67,8 m?

<212>
 7. Considere estes pares ordenados. Anote apenas aqueles que so soluo da equao x-3y=-6.
 a) `(6,#j`) 
 b) `(-6,#j`)
 c) `(-2,#c`)
 d) (3,4;2,6)
 e) `(-#,b,#,,f`)
 f) `(-0,9;1,7`)
 8. O permetro do retngulo a seguir  64,5 cm. Represente esse permetro utilizando uma equao do 1 grau com duas variveis.

<F->
!::::::::::
l          _
l          _ y
l          _
h::::::::::j
     x
<F+>

 9. Copie em seu caderno uma tabela como esta e complete-a com valores de *y* e com pares ordenados `(x,y`) que sejam solues da equao y=2x+7.

<F->
_`[{tabela adaptada em trs colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: x
2 coluna: y
3 coluna: x,y
<P>
!::::::::::::::::::::
l x     _ y   _ x,y  _
r:::::::w:::::w::::::::w
l -4   _ ''' _ '''    _
r:::::::w:::::w::::::::w
l -0,2 _ ''' _ '''    _
r:::::::w:::::w::::::::w
l 0    _ ''' _ '''    _
r:::::::w:::::w::::::::w
l #:d   _ ''' _ '''    _
r:::::::w:::::w::::::::w
l 2    _ ''' _ '''    _
r:::::::w:::::w::::::::w
l 2,5  _ ''' _ '''    _
h:::::::j:::::j::::::::j
<F+>
 
 O par ordenado `(-#,b,#g`),  soluo da equao y=2x+7? Por qu?
<R->

 Pares ordenados e a representao 
  geomtrica

  Elaboramos uma representao geomtrica de pares ordenados desenhando duas retas numeradas perpendiculares em um plano. O ponto comum a essas retas  chamado de origem e  identificado pelo par ordenado `(0,#j`).
  Chamamos as retas de eixos: eixo das abscissas e eixo das ordenadas. Em geral, eles so indicados, respectivamente, por eixo *x* e eixo *y*.

<F->
eixo y (eixo das ordenadas)
         _
         _
       2w
       1w
         _`(0,#j`)
::w:::w::w:::w:::w::
 -2 -1 _   1  2 eixo x 
      -1#      (eixo das 
         _      abcissas)
         _
<F+>

  Os pares ordenados so as coordenadas dos pontos, e essa representao geomtrica  denominada sistema de coordenadas cartesianas.
<P>
  A palavra *cartesiano* tem origem no nome de *Ren Descartes*, filsofo e matemtico francs. Foi Descartes quem descreveu, pela primeira vez, uma maneira de localizar pontos em um plano utilizando linhas que se cruzam. Isso foi feito em um livro publicado em 1637.
  Usar papel quadriculado facilita a representao dos pares ordenados.
  O ponto `(-4,#b`), por exemplo, est no cruzamento de duas retas _`[no adaptadas_`]:
<R+>
  uma, paralela ao eixo *y* e que passa por -4 no eixo *x*;
  outra, paralela ao eixo *x* e que passa por 2 no eixo *y*.
<R->

_`[{o professor diz_`]
  "Observe, tambm, os pares ordenados `(-2,#c`), `(3,-#b`) e `(0,#a`)."

<213>
<P>
  Observe os pares ordenados  `(0,#d`), `(-4,#j`) e `(-2,#b`) representados a seguir.

_`[{grfico no adaptado_`]

<R+>
 wr
  Eles so solues da equao x-y=-4? 
  Represente esses pares ordenados em uma folha quadriculada. Trace uma reta por dois dos pontos representados. O que ocorre com o terceiro ponto?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<R->

  Observe os pares ordenados que compem a tabela a seguir. Todos eles so solues da equao x-y=-4 e os pontos que os representam esto alinhados, ou seja, eles esto sobre uma mesma reta.
<P>
<F->
_`[{tabela adaptada_`]
1 coluna: x
2 coluna: x-y=-4
3 coluna: y
4 coluna: solues
 
!::::::::::::::::::::::::::::
 1_ 2       _ 3 _ 4      
 0 _ 0-y=-4  _ 4  _ 0,#d 
-4 _ -4-y=-4 _ 0  _ -4,#j
-2 _ -2-y=-4 _ 2  _ -2,#b
 1 _ 1-y=-4  _ 5  _ 1,#e 
h:::j:::::::::::j:::::j:::::::::j

_`[{grfico no adaptado_`]
<F+>

  Podemos mostrar que:

<R+>
 Os pares ordenados que so solues de uma equao do 1 grau com duas variveis, representados em um sistema de coordenadas cartesianas, esto alinhados formando uma reta.
<R->

<214>
<P>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
_`[{para as atividades de 10 a 14, pea orientao ao professor_`]

 10. Observe a figura _`[no adaptada_`]. Indique o par ordenado que localiza o ponto que representa:
 a) o submarino;  
 b) o helicptero;  
 c) o morro; 
 d) o navio. 

 11. Localize, em um sistema de coordenadas cartesianas, estes pontos (use papel milimetrado): A`(5,#d`), B`(-1,-#b`), C`(0,#c`), D`(-3,#j`) e E`(4,#e`).
<P>
 12. Em uma batalha naval, os tiros sero indicados com pares ordenados `(x,y`). Com 3 tiros,  possvel afundar 3 embarcaes.
 a) Escolha ento trs pares ordenados. Quais embarcaes voc afundou?
 b) A cada tipo de embarcao corresponde certo nmero de pontos: barco vale 547 pontos, navio vale 2.038 e submarino, 3.409. Quantos pontos voc fez? 

 13. Anote a letra da figura com o grfico _`[no adaptado_`] que representa a equao x~2-y=1.
 14. Determine cinco solues da equao ?x-1*~4=y e represente-as em um sistema de coordenadas cartesianas.

 Troque ideias e resolva

  Escolha alguns pares ordenados. Pea a um colega que dese-
<P>  
  nhe a figura correspondente e calcule a sua rea.
  Faa o mesmo com a questo que voc receber de seu colega.
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<215>
 3 -- Sistema de duas equaes do 
  1 grau com duas variveis

  J sabemos que um dos caminhos para resolver um problema  usar equaes.
  Existem problemas que apresentam duas variveis e as informaes nelas contidas podem ser relacionadas em duas equaes do 1 grau com duas variveis.
  Vamos ento aprender a resolver problemas que envolvem equaes desse tipo.
<P>
  A Pousada Vale da Lua oferece dois tipos de acomodao.
  H apartamentos duplos (com duas camas) e apartamentos simples (com uma cama). No total so 64 apartamentos e 109 camas.

<R+>
 wr
  De quantos apartamentos de cada tipo dispe a Pousada Vale da Lua?
<R->

  Vamos representar:

<R+>
<F->
!:::::::::::::::::::::::
l nmero de   _ nmero de_
l apartamentos_ camas    _
r:::::::::::::w::::::::::w
l duplos: x   _ 2.x     _
l simples: y  _ y        _
h:::::::::::::j::::::::::j
<F+>
<R->

  Como o nmero de apartamentos  um nmero inteiro positivo, *x* e *y* representam nmeros inteiros positivos.
  Escrevemos os dados do problema por meio de equaes.
  Para o nmero de apartamentos temos:

<R+>
 Nmeros de apartamentos duplos e apartamentos simples, em um total de 64 apartamentos.
 x+y=64
<R->

  Para o nmero de camas, temos:

<R+>
 Apartamentos duplos e apartamentos simples, em um total de 109 camas.
 2.x+y=109
<R->

  As equaes x+y=64 e 2x+y=109, consideradas simultaneamente, formam um sistema de equaes do 1 grau com duas variveis.

_`[{a professora diz_`]
  "Representamos um sistema de equaes usando uma chave _`[no sistema comum de escrita_`]."

 x+y=64 e 2x+y=109

  No caso desse sistema, o par ordenado `(45,#ai`)  a soluo das duas equaes.
  Dizemos que `(45,#ai`)  a soluo desse sistema de equaes.

<216>
 Resoluo de sistema de equaes

 Mtodo da substituio

  Um dos mtodos para resolver um sistema de duas equaes do 1 grau com duas variveis  o mtodo da substituio. Nesse mtodo, escolhemos uma das equaes, por exemplo a primeira, e isolamos uma das variveis.

 x+y=64
 y=64-x

_`[{a professora diz_`]
  "A varivel isolada foi y."

  Substitumos *y* por `(64-x`) na equao 2x+y=109.
<P>
<R+>
 2x+64-x=109
 Equao do 1 grau com incgnita *x*
 2x-x=109-64
 x=45 
<R->

  Substituindo *x* por 45 na primeira equao, calculamos o valor de *y*.

 45+y=64
 y=64-45
 y=19

  O par ordenado `(45,#ai`)  soluo das duas equaes do sistema e , por isso, a soluo do sistema de equaes dado.
  Verificao:
  Substituindo *x* por 45 e *y* por 19 nas equaes desse sistema, teremos sentenas verdadeiras.

 1 equao
 x+y=64
 45+19=64
 64=64

 2 equao
 2x+y=109
 2.45+19=109
 90+19=109
 109=109

  Como 45 e 19 so nmeros inteiros positivos, eles so as solues do problema proposto. Isso significa que a pousada oferece 45 apartamentos duplos e 19 apartamentos simples.

 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 15. Responda s questes:
 a) O par ordenado `(#,b,#j`)  soluo da equao x-y=#,b? E da equao 2x+y=-2?
 b) O par ordenado `(#,b,#j`)  soluo do sistema x-y=#,b e 2x+y=-2? Por qu?
<P>
 16. A soluo do sistema -3x+y=9 e 2x-5y=-6  um par ordenado `(x,y`).
 a) Verifique se `(0,-#c`)  soluo desse sistema.
 b) Verifique se `(-3,#j`)  soluo desse sistema.

 17. As letras *x* e *y* representam nmeros inteiros. Determine o par ordenado `(x,y`) que  soluo do sistema x-3y=10 e 3x-21y=46.

<217>
 18. Vamos praticar o clculo mental? Resolva estes sistemas mentalmente e anote as solues:
 a) x=y e x+y=20 
 b) x=2y e x+y=18
 c) x+y=0 e x+3y=-#:d

 19. Uma doceira produz diariamente dois tipos de doce: quindins e bons-bocados, totalizando 50 unidades. Cada quindim  vendido a R$3,00 e cada bom-bocado, a R$2,00. Certo dia, a doceira arrecadou R$120,00. Quantos quindins e quantos bons-bocados ela vendeu nesse dia?
 a) Indicando por *x* a quantidade de quindins e por *y* a quantidade de bons-bocados, qual dos sistemas seguintes traduz o problema para a linguagem matemtica? 

 A) x+y=50 e 2x+y=120
 B) x+y=50 e 3x+2y=120
 C) x+3y=50 e 2x+y=120
 D) 2x+3y=50 e x+y=120

 b) Resolva o problema.

 20. As letras *x* e *y* representam nmeros racionais. Resolva os seguintes sistemas:
 a) 3x-y=7 e 4x-5y=2 
 b) 8x+20y=-24 e 7x+4y=6 
 c) 6x-21y=-7 e 2x-3y=-5

 21. A soma das idades de Renato e Juliana  30. A idade de Renato  o quntuplo da idade de Juliana. Qual  a idade de cada um?
 22. Dois ngulos so suplementares. Um mede 30 a mais que o outro. Qual  a medida de cada ngulo?
 23. As idades de Gina e sua filha somam, hoje, 75 anos. H 10 anos, a idade de Gina era o qudruplo da idade de sua filha. Quantos anos Gina tem hoje? E sua filha?
 24. Em uma circunferncia, a letra *d* representa a medida do dimetro, em centmetros, e a letra *r*, a medida do raio, em centmetros. Se 7.r-d=35, qual  a medida do raio e do dimetro dessa circunferncia?

 Problema resolvido

 25. A festa de 15 anos de Lcia foi um sucesso. Nessa festa, ela distribuiu 2 cravos para cada rapaz e 3 rosas para cada moa, num total de 146 flores. Na hora da valsa, todos danaram, menos duas moas que no tinham par. Quantos rapazes e quantas moas estavam na festa de Lcia?

 n.o de rapazes -- r
 n.o de moas -- m
 n.o de cravos -- 2.r
 n.o de rosas -- 3.m

 O nmero de cravos com o nmero de rosas  146.
 2.r+3.m=146
 O nmero de moas  igual ao nmero de rapazes mais 2.
 m=r+2

 As equaes do problema formam o sistema 2.r+3.m=146 e m=r+2
 Substitumos *m* por `(r+2`) na equao: 2.r+3.m=146
 
 2.r+3.m=146
 2.r+3.`(r+2`)=146
 2.r+3.r+6=146
 5.r=146-6
<P>
 r=#,e
 r=28

 Calculamos *m*, substituindo *r* por 28 na equao m=r+2.

 m=r+2
 m=28+2
 m=30

 Resposta: Na festa de Lcia havia 28 rapazes e 30 moas.

<218>
 26. Cludia tinha na bolsa 21 notas, em um total de R$135,00. As notas eram de R$5,00 e de R$10,00. Quantas notas de cada valor havia na bolsa de Cludia?
 27. No incio do ano, Marcelo ficou em dvida na hora de comprar o uniforme da escola. No sabia se comprava 3 camisetas e 2 calas por R$66,00 ou 4 camisetas e 1 cala por R$63,00. Todas as camisetas 
<P>
  tm o mesmo preo, assim como as calas. Quanto custa cada pea?
 28. Em uma prova de Histria com 20 questes, os alunos ganham 5 pontos por questo certa e perdem 3 pontos por questo errada. Quantas questes acertou um aluno que obteve 36 pontos?
 29. Uma empresa fornece pneus para uma indstria que produz carros e motos. Em um certo perodo, foram pedidos 312 pneus para 120 veculos, sem contar os estepes. Em quantos carros e motos foram colocados esses pneus?
<R->

 Seo + (mais)

 Salada de frutas

  Cada uma das frutas desenhadas no quadro substitui um nmero inteiro positivo de 1 a 5. A mesma fruta tem sempre o mesmo valor. Cada fila  uma soma.

<R+>
<F->
_`[{quadro adaptado; contedo a seguir_`]
Legenda:
A -- abacaxi
B -- banana
M -- ma
Mo -- morango
U -- uva
<F+>

<F->
!::::::::::::::::::::
l M  _ M  _ M  _ 9  _
r:::::w:::::w:::::w:::::w
l Mo _ A  _ B  _ 8  _
r:::::w:::::w:::::w:::::w
l M  _ Mo _ A  _ 10 _
r:::::w:::::w:::::w:::::w
l M  _ M  _ Mo _ 8  _
r:::::w:::::w:::::w:::::w
l Mo _ U  _ A  _ 11 _
h:::::j:::::j:::::j:::::j
<F+>

  Descubra o valor de cada fruta.
<R->
<P>
 Mtodo da comparao

  Tambm podemos resolver um sistema de duas equaes do 1 grau com duas variveis usando o mtodo da comparao, que estudaremos a seguir.
  Um grupo de 10 pessoas, entre adultos e crianas, participou de um Passeio Ciclstico.
  A diferena entre o qudruplo do nmero de adultos e o nmero de crianas  25.

<R+>
 wr
  Quantos adultos e quantas crianas participaram do Passeio Ciclstico?
<R->

<219>
  Vamos escolher a letra *x* para representar o nmero de adultos e *y*, o nmero de crianas. Portanto, *x* e *y* so nmeros inteiros positivos.

<R+>
 x -- n.o de adultos
 y -- n.o de crianas

 O nmero de adultos e o nmero de crianas  10.
 x+y=10
 A diferena entre o qudruplo do nmero de adultos e o nmero de crianas  25.
 4x-y=25 
<R->

  Temos um sistema de equaes do 1 grau com duas incgnitas.

 x+y=10 e 4x-y=25

_`[{o menino diz_`]
  "Como resolvemos um sistema pelo mtodo da comparao?"

_`[{o professor diz_`]
  "Escolha uma das variveis e isole-a nas duas equaes."

_`[{o menino pensa_`]
  "Hum... o *y*."

_`[{o professor diz_`]
  "Iguale as expresses de *y*."

_`[{o menino diz_`]
  "Legal! Fica s o *x*."

  Vamos escolher o *y* para ser isolado nas duas equaes.

 x+y=10
 y=10-x
 4x-y=25
 4x-25=y

  Igualamos `(10-x`) e `(4x-25`) e calculamos o valor de *x*.
  Equao do 1 grau na incgnita *x*.

 10-x=4x-25
 10+25=4x+x
 35=5.x ou 5.x=35
 x=#:?e
 x=7

  Substitumos *x* por 7 na equao y=10-x e calculamos *y*: 

 y=10-7 
 y=3

  O par ordenado `(7,#c`)  a soluo do sistema.
  Verificao:
  Substitumos *x* por 7 e *y* por 3 nas equaes desse sistema e verificamos se as sentenas so verdadeiras.

 x+y=10
 7+3=10
 4x-y=25
 4.7-3=25
 28-3=25

  Como 7 e 3 so nmeros inteiros positivos, eles so solues do problema, ou seja, 7 adultos e 3 crianas participaram do Passeio Ciclstico.

<220>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 30. Resolva cada sistema usando o mtodo da comparao. Represente as solues na forma `(x,y`):
 a) 5.x-8.y=-9 e y=6-x
 b) 3.x+y=-15 e 2.y=3.x
 c) 4.x-3.y=-2 e -2.x+4.y=1
 d) ?x-2.y*~3=-7 e 3.x+y=0

 Problema resolvido

 31. A metade da soma de dois nmeros racionais  -#,!e, e a soma do quntuplo de um deles com o outro nmero  -4. Quais so esses nmeros?

_`[{o professor diz_`]
  "*x* e *y* representam os nme-
 ros racionais."

 A metade da soma desses nmeros  -#,!e.
 ?x+y*~2=-#,!e

 A soma do quntuplo de um com o outro  -4.
 5.x+y=-4
<P>
 Temos um sistema de equaes do 1 grau com duas variveis 
 5x+y=-4 (1) e ?x+y*~2=-#,!e (2)
 Podemos eliminar os denominadores da equao (2):

 ?x+y*~2=-#,!e
 ?5.`(x+y`)*~10=-?2.16*~10
 5.`(x+y`)=-32
 5x+5y=-32
 
 5x+y=-4 e 5x+5y=-32

 Em seguida, resolvendo o sistema a seguir por um dos mtodos, encontramos a soluo `(#:e,-#g`).

 Resposta: Os nmeros #:e e -7 so as solues do problema proposto.

 32. A rea da sala de jogos de um hotel excede a rea da sala de televiso em 130 m2. A soma do triplo da rea da sala de jogos com a rea da sala de televiso  590 m2. Qual  a rea da sala de jogos e a rea da sala de televiso desse hotel?
 33. Pedro e Anita estavam jogando cartas. No final da partida, os pontos de Anita eram o dobro dos pontos de Pedro, e a diferena entre os pontos de Anita e o sxtuplo dos pontos de Pedro era -56. Quantos pontos obteve cada um?

 34. Tiago e Mrcio so salva-vidas. Certo dia, fizeram uma aposta para ver quem mergulharia mais fundo em relao ao nvel do mar. Sabe-se que a diferena entre a profundidade que Tiago desceu e o qudruplo da distncia que Mrcio atingiu foi 100 m. Esse valor diminui para 70 m se envolver a diferena entre o que Tiago desceu e o triplo da profundidade que Mrcio alcanou.
<P>
 a) Quem ganhou a aposta? 
 b) Quantos metros, em relao ao nvel do mar, cada mergulhador desceu?
<R->

<221>
 Troque ideias e resolva

  Roberta e Henrique vo se casar. Consultando anncios, encontraram em oferta o televisor e o fogo que gostariam de ter.
  Juntando o salrio dos dois, poderiam comprar o televisor, mas a no sobraria nada para os gastos do ms!

_`[{roberta diz_`]
  "20% do meu salrio adicionados aos 30% do salrio do Henrique equivalem ao preo do fogo."

_`[{henrique diz_`]
  "Qual  o meu salrio e qual  o salrio da Roberta?"
<P>
<R+>
  Procure em anncios de jornais ou folhetos de propaganda preos de foges e de televisores para resolver o problema.
  Compare os resultados com outros colegas.
<R->

 Aprender + (mais)

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 35. Resolva estes sistemas pelo mtodo que voc quiser:
 a) 3x-y=15 e x+4y=-21
 b) 2.`(x-3y`)+5y=6 e 4x-y=5
 c) -x+3y=2 e ?x+4*~3-2y=1

 36. Em um tringulo, a soma das medidas de uma base e da altura relativa a esse lado  147 cm e a diferena entre elas  17 cm. Qual  a rea desse tringulo?
 37. Manuel tem duas caixas cilndricas. A capacidade das duas juntas  14 dm3. O dobro da capacidade da maior menos a capacidade da menor  igual a 22 dm3. Qual  a diferena entre as capacidades das duas caixas? 
 38. A diferena entre as medidas da base maior e da base menor de um trapzio  3,2 cm. A medida da base maior  o dobro da medida da base menor mais 0,4 cm. Qual  a rea desse trapzio, se a altura  1,5 cm?
 39. Csar tem 58 moedas. Algumas so de R$0,10 e outras de R$0,50, em um total de R$16,20. Quantas moedas de cada tipo Csar possui?
 40. Nas balanas, as caixas contm a mesma quantidade de creme e as latas, a mesma quantidade de milho cozido. Qual  a massa de cada caixa? E de cada lata?

_`[{duas balanas adaptadas; contedo a seguir_`]
 1: duas caixas com creme e duas latas de milho cozido: visor marcando 820 g
<P>
 2: trs caixas com creme e duas latas de milho cozido: visor marcando 770 g
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<222>
 4 -- Tratamento da informao

 Pares ordenados e possibilidades

  No lanamento de uma moeda no viciada, ou seja, uma moeda equilibrada, podemos obter coroa, se a face com o valor estampado estiver voltada para cima, ou cara, caso ocorra o contrrio.
  Pedro lanou uma moeda no viciada duas vezes.
  Ele anotou os resultados marcando cara com a letra *k* e coroa com a letra *c*.

<R+>
 wr
  Represente em seu caderno os resultados possveis, usando pares ordenados.
  Quantos so os resultados possveis?
<R->
  Podemos registrar em um "diagrama-rvore" todas as possibilidades nos dois lanamentos. Nesse diagrama, temos os resultados possveis, que so os pares ordenados: `(k,k`), `(k,c`), `(c,k`) e `(c,c`). Ou seja, h 4 possibilidades para o resultado.

 Sistema de coordenadas, grfico 
  de colunas e grfico de barras

  J aprendemos a interpretar as informaes apresentadas em grficos. Veja, agora, como construir grficos de colunas e grficos de barras.
  Os dados da tabela a seguir referem-se s reas das superfcies dos trs maiores continentes.

<R+>
<F->
_`[{tabela *rea dos continentes* adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Continente
2 coluna: rea (milhes de km2)
<P>
!::::::::::::::::::
l Amrica _ 42,07 _
r::::::::::w::::::::w
l frica  _ 30,21 _
r::::::::::w::::::::w
l sia    _ 44,66 _
h::::::::::j::::::::j
<F+>

Fonte: *Calendrio Atlante de Agostini*. Novara: Instituto Geogrfico De Agostini, 2003.
<R->

  Vamos represent-los em um grfico de colunas.
  Nesse tipo de grfico, os dados so representados por retngulos de bases iguais e alturas diferentes.
  No eixo *x*, figuram as bases dos trs retngulos que correspondem ao nome dos continentes. Pode-se escolher qualquer medida para as bases dos retngulos. Neste grfico, elas medem 7 mm _`[no livro, no sistema comum de escrita_`].
<P>
  No eixo *y*, esto representadas as reas dos continentes, em milhes de km2. A partir da origem O, cada 7 mm correspondem a 10 milhes de km2.
  Para construir um grfico de barras, indicamos no eixo *x* a rea de cada continente e, no eixo *y*, o nome dos continentes.

<R+>
<F->
_`[{grficos *rea dos continentes* adaptados; contedo a seguir_`]
Legenda:
I -- sia
II -- Amrica
III -- frica
<P>
Grfico de Barras

rea
    y
    l  
50 l
    x-----
40 l    
    l     
30 r:::::::==
    l        
20 l       
    l          
10 l       
    l          
 0 l          
   :r:gg:::gg:::gg::o x 
      I   II III
            Continente
<P>
Grfico de colunas

Continente 
      y
      l
   I  30,21
      l
 II  42,07
      l
III  44,66
      l
      r::::::::::::::o x    
                    rea
<F+>
<R->

<223>
 Fazer e aprender

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 41. Responda s questes considerando o lanamento de uma moeda descrito no texto:
 a) Quantas possibilidades h de sair cara nos dois lanamentos? 
 b) Quantas possibilidades h de sair coroa nos dois lanamentos? 

 42. Joo colocou, em um saco no transparente, trs bolas de mesmo tamanho nas cores vermelha, azul e preta. Ele vai retirar duas bolas, uma de cada vez, observar a cor e devolv-las ao saco. Quais so os resultados possveis?
 
 43. No lanamento de um dado h seis resultados que podem aparecer na face de cima: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Laura lanou dois dados: um branco e um vermelho.
 a) Ela jogou o dado branco e saiu 1 na face de cima. Ao jogar o dado vermelho, se sair o nmero 2, esses dois resultados podem ser indicados pelo par `(1,#b`). Escreva todos os pares ordenados que podem ser obtidos nesse caso.
 b) Faa o mesmo que no item *a*, imaginando que no lanamento do dado branco tenha sado 2.
 c) Se voc fosse escrever todos os pares ordenados possveis, sendo o primeiro nmero o que pode sair no dado branco, e o segundo o que pode sair no dado vermelho, quantos pares iria registrar? 

_`[{para as atividades 44 e 45, pea orientao ao professor_`]

 44. Represente geometricamente todos os pares ordenados que podem resultar no lanamento de dois dados: um branco e um vermelho, nessa ordem. Represente no eixo das abscissas os valores que podem sair na face de cima do dado branco e no eixo das ordenadas, os valores do dado vermelho. Use papel milimetrado. 
 45. Esta tabela apresenta dados sobre a rea da superfcie do continente americano.

<F->
_`[{tabela adaptada em duas colunas; contedo a seguir_`]
1 coluna: Amrica
2 coluna: rea (milhes de km2)

!:::::::::::::::::::
l 1       _ 2    _
r:::::::::::w::::::::w
l do Norte _ 23,65 _
r:::::::::::w::::::::w
l Central  _ 0,73  _
r:::::::::::w::::::::w
l do Sul   _ 17,83 _
h:::::::::::j::::::::j
<F+>

 Fonte: *Almanaque Abril*. So Paulo: Abril, 2004.

 a) Construa um grfico de colunas, representando as reas da Amrica do Norte, Amrica Central e Amrica do Sul.
 b) Em seguida, coloque esses dados em um grfico de barras.
<R->

<224>
 Troque ideias e resolva

  No jogo do par ou mpar, um jogador escolhe par e o outro, mpar. Cada um esconde uma das mos e os dois mostram ao mesmo tempo certo nmero de dedos (ou nenhum).
  Se o total de dedos for par, ganha quem escolheu par; se for mpar, ganha quem escolheu mpar.
<R+>
  Qual  a menor soma que pode ocorrer nesse jogo? E a maior? 
  Escreva em seu caderno todos os pares ordenados possveis em que a soma  par. Quantas so as possibilidades?
<R->

 Leitura + (mais)

 As frmulas e o clculo

<R+>
_`[{tirinha em trs quadrinhos_`]
 1: O dono de *Garfield* diz para ele: "Voc est muito gordo". Garfield pensa: "Estou ouvindo."
 2: O dono continua: "Quero que voc perca peso, ouviu bem?" Garfield pensa: "Falou."
<P>
 3: O dono diz: "Ei, aonde vai?" Garfield d meia volta e pensa: "A um planeta cuja gravidade seja menor."  

 Fonte: ~,www.dicasdeciencias.~
  wordpress.com~, Acesso em: 25 novembro de 2008.
<R->

  Voc sabia?
  Peso e massa so grandezas diferentes. A massa de um corpo  sempre a mesma, no depende do local onde o corpo est. O mesmo no acontece com o peso, que poder ser diferente em locais diferentes.
  O peso de um corpo depende da acelerao que um outro corpo exerce sobre ele.
  Essa acelerao  o que chamamos de acelerao da gravidade.
  Saiba que:

<R+>
 Representando: peso por *p*, massa por *m* e acelerao por *g*.
<R->
<P>
<R+>
 peso = (massa do corpo)  (acelerao da gravidade)
 p=m.g

 p=m.g --  uma frmula.
 A unidade de medida de peso  *newton*.
<R->

  Nessa frmula, *p* pode ser varivel que depende dos valores das outras variveis, *m* e *g*. Se conhecermos esses valores, poderemos calcular o peso usando essa frmula.
  A acelerao da gravidade na Lua  de, aproximamente, 1,66 metro por segundo ao quadrado, e a acelerao da gravidade na Terra  de, aproximadamente, 9,81 metros por segundo ao quadrado. Se a massa do Garfield  de 8 kg, ento seu peso na Lua  p=8.1,66=13,28 newtons e, na Terra, p=8.9,81=74,48 newtons.
  Logo, uma "sada" para 
 Garfield  ir para a Lua!!!

<225>
<p>
 Reviso cumulativa e testes

  Faa todas as atividades desta seo em seu caderno.

<R+>
 1. Copie estas sentenas substituindo a ... por *=* ou *=*:
 a) -73...`(-7`)3  
 b) `(-0,3`)2...-0,32 
 c) +9...+9 
 d) 64...-64 
 e) `(-3+4`)5...-15  
 f) `(-0,4`)3...-0,43

 2. Escreva estes nmeros utilizando potncias de base 10:
 a) 12 bilhes e trezentos milhes 
 b) 3.970.000.000.000 
 c) 0,000000045  

 3. Na equao 6.x+9.y=-12, *x* e *y* representam nmeros racionais.
 a) Se x=0, qual  o valor de *y* para que o par ordenado `(0,y`) seja soluo dessa equao? 
<P>
 b) Se y=-#,c, qual  o valor de *x* para que o par ordenado `(x,-#,c`) seja soluo da equao dada?

 4. Renato pensou em trs nmeros inteiros consecutivos, em que #?f do menor  igual  metade do maior acrescido de 5 unidades. Em que nmero ele pensou?
 5. No Cine Estrela h dois tipos de ingresso: meia-entrada e entrada inteira. A meia-entrada custa R$6,00 e a inteira, R$12,00. No final de uma sesso, o caixa registrou R$840,00 para um total de 100 pagantes. Quantas pessoas pagaram meia-entrada e quantas pagaram ingresso inteiro nessa sesso?

 6. Cida foi ao armazm com R$20,00. Chegando l, descobriu que se quisesse comprar 3 kg de arroz e 5 kg de feijo faltariam R$5,00. Ela resolveu comprar 5 kg de arroz e 3 kg de feijo, mas ainda assim faltaram R$3,00.
 a) Qual  o preo do quilograma de arroz e do quilograma de feijo? 
 b) Cida decidiu ento comprar 3 kg de arroz e 3 kg de feijo. Quanto ela recebeu de troco? 

 7. Nesta figura, a medida de :?{m{o{r* excede em 25 o qudruplo da medida de :?{r{o{s*. A semirreta {o{p  bissetriz de :?{m{o{r*. Responda:

<F->
                i
              gP
       gR    i
            i
           i
          i    
:::o:::::o::::::o::
   S     O      M
<F+>

 a) Qual a medida de :?{r{o{s*? 
 b) Qual a medida de :?{m{o{p*?
 8. Resolva estes sistemas escolhendo um dos mtodos que voc aprendeu:
 a) -2x+y=-9 e 6x+2y=-3
 b) x=16y-x e 6x-y=#=d

 9. A diferena entre dois nmeros  13. A quarta parte do maior menos a tera parte do menor  2. Quais so esses nmeros? 

 10. Em um jogo de adivinhao, um participante ganha 3 pontos para cada resposta certa e perde 2 pontos para cada resposta errada. Representando por *x* o nmero de acertos e por *y* o nmero de erros, escreva uma equao para cada uma destas situaes:
 a) Anita respondeu a 100 perguntas.
 b) Anita fez 70 pontos. 
 c) Considerando os itens *a* e *b*, quantas questes Anita acertou? 

 11. (Saresp) A nota que Tonico recebeu em Cincias  o dobro da nota de Las mais 3 pontos. J a nota de Raul  o triplo da de Las e a mesma recebida por Tonico. A expresso que representa a relao entre as notas desses alunos : 
 a) 2x=3x+3 e x=2.
 b) 2x+3=3x e x=3.
 c) 2x+3x=3 e x=2.
 d) 3x+3=2x e x=2.

 12. Na reta numerada a seguir, M  o ponto mdio de ^c?{a{b*. A abscissa de M :

<F->
     A        M        B
:::::o::::::::o::::::::o:::o
    -#,i               -#;c
<F+>

 a) -#,i
 b) -#,ah
 c) #,i
 d) -#,i
<P>
 13. Nesta figura, :,?{o{b*  bissetriz de :?{a{o{c* e a medida de :?{b{o{c*  o dobro da medida de :?{c{o{d*. A medida de :?{c{o{d* : 

<F->
                i
      e        gB
       gC    i
        e    i
         e  i
    x+8 ei    
:::o:::::o::::::o::
   D     O      A
<F+>

 a) 28 
 b) 56 
 c) 36 
 d) 54
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Stima Parte